UOH - Psychométrie et Statistique en L1 - Somme algébrique
Somme algébrique
Écrit par Éric Raufaste   

Objectifs. Expliquer la construction et la signification de l'opérateur de sommation discrète, utilisé dans de très nombreuses formules de statistique et psychométrie.

Prérequis. Aucun.

Résumé. La somme simple est d'abord présentée puis ensuite l'extension à la somme double. 


 

1. La somme simple

Tout le monde connaît l'opération d'addition. Supposons que l'on souhaite calculer la somme des notes en poésie obtenues par les 35 élèves d'une classe en vue de calculer ensuite la moyenne de la classe.  Si l'on note Xi la note obtenue par le ième élève de la classe, cette somme pourrait naturellement s'écrire

Formula.

On dénote usuellement une somme d'éléments par la lettre grecque sigma majuscule : Formula. Cela nous donne donc la formule suivante :

Formula.

Mais imaginons qu'il y ait maintenant dix mille nombres à sommer, cette notation serait peu pratique. Une première idée consiste à imaginer que cette somme est une répétition de la même opération pour chacune des observations à sommer. Ainsi, pour chaque observation, j'ajoute à mon résultat intermédiaire la nouvelle valeur à ajouter et le résultat final est obtenu lorsque j'ai ajouté la dernière valeur. On peut alors désigner chaque élément à ajouter par un indice qui augmente progressivement de 1 en 1 en partant de 1, soit 1, 2, 3, etc. jusqu'à N, le nombre d'observations. Notons i un tel indice. On pourra dès lors dire que Σ  est la somme des nombres Xi pour i variant de 1 à N.

    Afin d'illustrer le propos, voyons ce que cela donne sur un exemple concret dans lequel on cherche à sommer les nombres de l'ensemble suivant {12 ; 15 ; 23}. On a donc trois nombres (N=3), X1, X2, X3, et on a X1 = 12; X2 = 15 et enfin X3 = 23. Je pars d'un total intermédiaire initialement à 0 et un indice i qui vaut initialement 1. La valeur corrrespondante est alors X1, soit 12. J'ajoute donc 12 à mon total intermédiaire qui vaut maintenant 0+12=12. Comme i est plus petit que N, j'augmente i qui passe à 2. La valeur corrrespondante est alors X2, soit 15. J'ajoute donc 15 à mon résultat intermédiaire qui vaut maintenant 15+12=27. Puisque i est encore plus petit que N, j'augmente i qui passe à 3. La valeur corrrespondante est alors X3, soit 23. J'ajoute donc 23 à mon précédent résultat intermédiaire qui passe donc maintenant à 27+23=50. Arrivé là, i est égal à N et donc j'ai fini toutes mes additions.

Finalement, on en arrive à écrire notre somme dans le cas général de la façon suivante : 

Formula.

Et l'on a

Formula.

Idee.jpgEn reprenant l'exemple précédent, le résultat est donc

                    Formula.

 

 

 

 

 

2. La somme double

Imaginons que l'on ait à faire pour chaque sujet une somme des notes qu'il a obtenues à chacune de 15 épreuves. Puis qu'ensuite nous ayons besoin de calcul la somme des notes obtenues par l'ensemble des 100 sujets d'une expérience. Nous avons donc deux sommes emboîtées l'une dans l'autre.

Si nous considérons nos données, nous avons pour le sujet n°1 quelque chose comme

Formula

Pour le sujet n°2,

Formula

Jusqu'au sujet n°100 où cela devient complètement illisible,

Formula

 

Essayons donc de trouver une écriture plus lisible et plus dense. Afin d'obtenir une écriture un peu plus générale,  nous pouvons variabiliser le numéro de sujet (i.e., le remplacer par une variable, disons ici une variable i qui variera de 1 à 100). Nous pouvons alors décrire une ligne de numéro i quelconque par la formule,

Formula

Puisqu'à la page précédente nous avons vu qu'il était possible de simplifier l'écriture avec l'opérateur de sommation, nous pouvons écrire la somme sur les 100 sujets de la façon suivante,

Formula

Cela reste assez lourd. Mais rien ne nous empêche  de variabiliser aussi le numéro d'épreuve, par exemple en utilisant la variable j, qui variera de 1 à 15, puis d'appliquer une deuxième fois l'opérateur de sommation, à l'intérieur de chaque sujet. D'où la formule suivante, bien plus élégante puisqu'elle résume à elle seule toutes les opérations réalisées sur tous les sujets :

Formula
 
 
Dernière mise à jour : ( 06-01-2009 )