UOH - Psychométrie et Statistique en L1 - Relation d'ordre et ordre partiel
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Relation d'ordre et ordre partiel Convertir en PDF Version imprimable Suggérer par mail
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Écrit par Stéphane Vautier   
Index de l'article
1. Relation d'ordre
2. Application : échelles de Likert
3. Ordre partiel

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Objectifs : définir les notions de relation d'ordre et d'ordre partiel.

Prérequis : Relation d'équivalence

Utilisé comme prérequis dans les articles :

Résumé : Soit une relation binaire R définie sur un ensemble E. R est une relation d'ordre si elle est  (1) réflexive; (2) antisymétrique et (3) transitive ; R est une relation d'ordre strict, si elle est (1) antiréflexive; (2) antisymétrique; et (3) transitive. Une relation d'ordre partiel, on dit aussi un ordre partiel, est une relation d'ordre telle qu'il existe certains couples (x, y) d'éléments distincts de E qui ne peuvent être comparés : tels que (x nonR y) et (y nonR x).


1. Relation d'ordre

Soit un ensemble E d'au moins trois éléments x, y et z et une relation binaire R définie sur E. R est une relation d'ordre si elle possède les propriétés suivantes :

  • pour tout x et pour tout y de E, x ≠ y et x R y => y nonR x : antisymétrie ; par exemple (cf. la photo illustrative en tête d'article), si Paul est devant Brigitte, Brigitte n'est pas devant Paul.
  • pour tout x, y, z de E, (x R y) et (y R z) => x R z : transitivité ; par exemple, si Brigitte est devant Mathieu, alors Paul est devant Mathieu.
  • si R est réflexive on parle de relation d'ordre, si R est anti-réflexive (il n'existe pas x tel que xRx) on parle d'ordre strict.

Remarque : la relation "se trouver avant dans une file d'attente" n'est pas une relation réflexive car on ne peut pas être avant soi-même. Toute relation d'ordre peut être rendue réflexive. Par exemple, la relation "se trouver avant ou à la même place dans une file d'attente" est une relation d'ordre réflexive.

En psychologie, les préférences sont souvent considérées comme des relations d'ordre. Mais il ne va pas de soi qu'une préférence soit une relation d'ordre. Par exemple soient trois types de sucreries :

  1. des cacahuètes enrobées de chocolat revêtu d'une pelicule craquante, sucrée, et de couleur vive,
  2. des céréales soufflées enrobées de chocolat,
  3. des nounours translucides de différentes couleurs. 

On peut préférer les cacahuètes aux céréales, les céréales aux nounours, et les nounours aux cacahuètes ; on a : 1 > 2, 2 > 3, mais 3 > 1. En d'autres termes, contrairement aux relations d'ordre ou d'ordre strict, les préférences humaines ne sont pas toujours transitives.



Dernière mise à jour : ( 29-03-2010 )
 
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Citation

La statistique a démontré que la mortalité dans l'armée augmente sensiblement en temps de guerre.
Alphonse Allais, Le Chat noir - 11 Janvier 1890
 

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